Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang memiliki sifat universal dan memiliki peranan yang penting di semua bidang ilmu pengetahuan. Melalui perkembangan penalarandan abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan , perhitungan, pengukuran dan pengkajian sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika. Ada banyak konsep materi dalam matematika yang dapat di apliksikan dalam kehidupan sehari hari . salahsatunya adalah materi kalkulus.
Kalkulus (Bahasa Latin:calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalahcabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret tak terhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan sertaaplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik ; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan denganaljabar elementer . Kalkulus memiliki dua cabang utama yaitu kalkulus diferensial dankalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulusadalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khususfungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.
Karena kalkulus ini mempunyai dua cabang utama, disini penulis ingin membahastentang kalkulus integralnya. Seperti yang kita ketahui bahwa kalkulus integral juga memiliki banyak aplikasi, baik dalam dunia pendidikan ataupun dalam dunia kesehatan. Namun, disini penulis akan membahas tentang integral tentu dan penerapannya dalam dunia pendidikan.
KONSEP DASAR INTEGRAL
Dalam matematika, sering kali menjumpai banyak pasangan operasi balikan; misalnya pada penambahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, pemangkatan dan penarikan akar. Operasi balikan dari turunan disebut antiturunan atau yang biasa disebut juga sebagai integral tak tentu. Dapat diketahui bahwasannya ketika suatu fungsi, katakanlah sebagai fungsi f(x)f(x), diturunkan atau didiferensialkan maka akan memperoleh suatu fungsi yang baru, katakanlah f′(x)f′(x). Jika fungsi baru pada f′(x)f′(x) ini kemudian diintegralkan, maka kita akan memperoleh fungsi f(x)f(x) itu sendiri. Karena itulah mengapa kita dapat menyebutnya sebagai integral tak tentu sebagai operasi balikan atau antiturunan.
Secara umum, integral dapat dibagi dua bagian yaitu integral tak tentu dan integral tentu. Dikatakan sebagai integral tak tentu ketika batas dari pengintegralannya tidak ditentukan, sedangkan integral tentu adalah ketika batas dari pengintegralannya tersebut telah ditentukan
Merujuk dari modul yang berjudul Pendidikan Matematik FKIP Unswagati, diterangkan bahwasannya sebelum masuk ke dalam materi integral, sebaiknya pelajari terlebih dahulu konsep dari pada turunan. Sebab konsep turunan tersebut dapat digunakan untuk memahami konsep dasar pada integral. Untuk memudahkan dalam memahami konsep dasar pada integral, dapat diperhatikan contoh berikut : Suatu fungsi yang memiliki bentuk umum fx= 2x3. Setiap fungsi tersebut memiliki turunan f(x) = 6x2. Jadi, turunan dari fungsi fx = 2x3 yaitu f(x) = 6x2. Berdasarkan pada uraian contoh di atas, maka untuk menentukan fungsi dari f(x) dari fx , tenntukan anti turunan dari f(x) . Melihat dari definisi diatas yaitu integral adalah operasi dari invers atau anti turunan (disebut juga dengan anti diferensial), dari diferensial. Bila f(x) adalah fungsi umum dengan sifat f'x = fx maka f(x) adalah anti turunan atau integral dari F’x = f(x). Didalam ilmu matematika, integral juga dapat dinotasikan sebagai berikut : ∫ f(x) = F(x) + C. Kemudian, karena biasanya anti turunan dari f(x) dapat dinotasikan sebagai ∫f(x) dx atau "integral f(x) terhadap x". Bentuk ∫f(x) dx tersebut merupakan integral tak tentu dan
Merujuk dari modul yang berjudul Pendidikan Matematik FKIP Unswagati, diterangkan bahwasannya sebelum masuk ke dalam materi integral, sebaiknya pelajari terlebih dahulu konsep dari pada turunan. Sebab konsep turunan tersebut dapat digunakan untuk memahami konsep dasar pada integral. Untuk memudahkan dalam memahami konsep dasar pada integral, dapat diperhatikan contoh berikut : Suatu fungsi yang memiliki bentuk umum fx= 2x3. Setiap fungsi tersebut memiliki turunan f(x) = 6x2. Jadi, turunan dari fungsi fx = 2x3 yaitu f(x) = 6x2. Berdasarkan pada uraian contoh di atas, maka untuk menentukan fungsi dari f(x) dari fx , tenntukan anti turunan dari f(x) . Melihat dari definisi diatas yaitu integral adalah operasi dari invers atau anti turunan (disebut juga dengan anti diferensial), dari diferensial. Bila f(x) adalah fungsi umum dengan sifat f'x = fx maka f(x) adalah anti turunan atau integral dari F’x = f(x).
Didalam ilmu matematika, integral juga dapat dinotasikan sebagai berikut : ∫ f(x) = F(x) + C. Kemudian, karena biasanya anti turunan dari f(x) dapat dinotasikan sebagai ∫f(x) dx atau "integral f(x) terhadap x". Bentuk ∫f(x) dx tersebut merupakan integral tak tentu dan f(x) di sebut juga sebagai integral. Dari penjelasan ini maka ∫
INTEGRAL TENTU
Integral tentu merupakan suatu integral yang menyertakan batasan nilai pada batasanluas daerah yang tercakup di antara kurva.Perhatikan gambar berikut:
Pada gambar di atas terlihat daerah L yang di abtasi oleh y = f(x), sumbu x dari x = a, sampaidengan x = b. maka untuk mencari luas daerah L di temapt langkah-langkah sebagai berikut:
Langkah pertama, interval [a,b], di bagi menjadi n interval dengan panjang masing-masinginterval bagian ∆ x1,∆ x2,∆x3…∆xn.Sedang pada masing-masing interval di tentukan titik-titikx1,x2,x3…xn. Selanjutnya dibuat persegi panjang-persegipanjang dengan,panjang masingmasingf(x1),f(x2),f(x3),…,f(xn)danlebarmasingmasing∆x1,∆x2,∆ x3∆xn.sehingga :
Luas persegipanjang pertama = f(x1).∆ x1
Luas persegipanjang kedua = f(x2).∆ x2
Luas persegipanjang ketiga = f(x3).∆ x3
… = …
Luas persegipanjang ke-n=
f( xn).∆ n
Jumlah luas seluruh persegipanjang = f(x1).∆ x1+ ff( x2)∆ x2+ f(x3∆ x3 + … + f( xn).∆ n
Dan untuk menekankan bahwa pengambilan jumlah tersebut meliputi daerah pada interval[a,b], notasi sigma di atas sering kita tulis dengan notasi
Jumlah semua luas persegipanjang =∑x=b(x)∆x
Jika n dibuat cukup besar maka jumlah luas diatas mendekati luas daerah L. Sehinggaluas daerah L adalah nilai limit jumlah di atas
L= lim∆x→0∑=ab
Bentuk di atas merupakan jumlah riemann untuk f yang berpadanan pada partisi L. Newton dan Leibniz memperkenalkan versi yang dini dari konsep integral tentu, akan tetapiRiemann lah yang memberikan defenisi modern dari integral tentu, dan gagasan pertamanyaadalah Jumlah Riemann. Integral tertentu dapat di hitung dengan mencari luas daerah persegi panjang yang ada antara garis kurva dan sumbu x.
Selanjutnya notas L= lim∆x→0∑x=abf (x)∆x
, biasa di tulis dengan notasi integral tertentuatau integral Riemann, sebagai berikut:
0 Komentar